高一数学必修一函数知识点及例题
一、函数的基本概念
函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域。
函数的表示方法：列表法、解析式法和图像法。
区间和邻域：区间分为开区间、闭区间、半开半闭区间等。邻域则是指一个数的微小变动范围。
二、函数的性质
单调性：如果在区间I上，对任意两个自变量的值x₁, x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或>），那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或减函数）。
奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)（或-f(x)），则称f(x)为偶函数（或奇函数）。
有界性与无界性：如果存在正数M，使得对于定义域内的所有x，都有|f(x)|≤M，则称f(x)为有界函数；否则称为无界函数。
周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其周期。
三、基本初等函数
幂函数：形如y=x^a的函数称为幂函数。
指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_a N。函数y=log_a x（a>0且a≠1）叫做对数函数。
三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在几何和物理中有广泛应用。
四、例题解析
例1：判断下列函数是否为同一函数，并说明理由。
(1) f(x)=√(x²), g(x)=|x|； (2) f(x)=(x-1)²/x-1, g(x)=x-1 (x≠1)。
解：(1) 是同一函数。因为f(x)=√(x²)的定义域为R，g(x)=|x|的定义域也为R，且对于定义域内的任意x，都有f(x)=√(x²)=|x|=g(x)，所以它们是同一函数。
(2) 不是同一函数。因为f(x)=(x-1)²/x-1的定义域为{x|x≠1}，而g(x)=x-1 (x≠1)的定义域虽然也是{x|x≠1}，但对于x=1附近的点，如x=0.9999和x=1.0001，它们的函数值相差很大（f(0.9999)趋向于负无穷，g(0.9999)=0.0001；f(1.0001)无意义，g(1.0001)=0.0001），所以它们不是同一函数。
例2：求函数y=3x+5的单调区间。
解：由于一次函数y=kx+b（k≠0）在其定义域内是单调的，且当k>0时单调递增，当k<0时单调递减。所以，对于函数y=3x+5，因为其斜率k=3>0，所以在其定义域R上是单调递增的。因此，它的单调递增区间为(-∞,+∞)。
